Научный журнал
Вестник Алтайской академии экономики и права
Print ISSN 1818-4057
Online ISSN 2226-3977
Перечень ВАК

ПРОВЕРКА НАДЕЖНОСТИ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ ВВП РОССИИ ОТ ЭКСПОРТА МЕТОДОМ ТЕСТИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ОСТАТКОВ

Мухин А.А. 1 Мухина И.А. 2 Марковина Е.В. 2 Доронина С.А. 2 Рыжкова О.И. 2
1 ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»
2 ФГБОУ ВО «Ижевская ГСХА»
В статье рассматривается построение парной линейной регрессионной модели зависимости использованного ВВП от экспорта России и оценка ее параметров. Рассчитываются параметры парной линейной регрессии при наборе 24 значений экспорта России и использованный ВВП. Проводится проверка гомо-, гетероскедастичности остатков в парной регрессии. Наличие гетероскедастичности может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии. Несмещенность оценок в основном зависит от соблюдения предположения о независимости остатков и величин факторов. Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок параметров. Последовательно рассматриваются тесты: Голдфелда-Квандта, ранговой корреляции Спирмена, Глейзера, Парка, Уайта, критерий Бройша-Пагана. В тесте Голдфелда-Квандта полученный отсортированный массив разбивается на две равные части. Тест ранговой корреляции Спирмена основан на вычислении коэффициента ранговой корреляции между значениями остатков регрессии и значениями фактора-регрессора. Определяется значение статистического критерия Стьюдента, по его величине судят о наличии или отсутствии гетероскедастичности остатков. Тест Глейзера основывается на наиболее общих представлениях о зависимости стандартной ошибки случайной составляющей от значений объясняющей переменной. Среди анализируемых моделей выбирается модель с тем значением, для которого параметр наиболее значим. Предложено для проведения исследования на гетероскедастичность использовать дополнительно функциональную зависимость прологарифмировано вида. Проверяется статистическая значимость параметра регрессии по критерию Стьюдента. Тест Бройша-Пагана применяется, если имеются основания полагать, что дисперсия ошибок может зависеть от некоторой совокупности наблюдаемых переменных. Указанная информация может служить важным инструментом хозяйствования различных экономических агентов рынка.
получение параметров линейной парной регрессионной модели
проверка гомоскедастичности в парной регрессии
проверка гетероскедастичности остатков в парной регрессии
расчет тестов голдфелда-квандта
ранговой корреляции спирмена
глейзера
парка
уайта
критерий бройша-пагана
расчет прогнозного значения ввп от экспорта в россии
1. Сайт Федеральной службы государственной статистики. [Электронный ресурс]. URL: https://gks.ru/free_doc/new_site/vvp/vvp-god/tab24.htm.
2. Hassani Ashkan. Applications of Cobb-Douglas Production Function in Construction Time-Cost Analysis. Construction Systems – Disser tations & Theses. 2012. Vol. 13. [Электронный ресурс]. URL: https://digitalcommons.unl.edu/constructiondiss/13.
3. Khosiev B.N., Ostaev G.Ya., Gogaev O.K., Markovina E.V., Latysheva A.I., Konina E.A. Strategic management and zootechnical control in pig-breeding enterprises: development of its information base. Research Journal of Pharmaceutical, Biological and Chemical Sciences. 2019. Т. 10. № 1. С. 1267-1279.
4. Sumin V.I., Chernov A.V. On sufficient conditions of existence stability of global solutions of Volterra operator equations, Vestn. Nizhegorod. Univ. N.I. Lobachevskogo, Mat. Model. Optim. Upr. 2003. № 1 (26). Р. 39-49.
5. Рыжкова О.И., Гоголев И.М., Доронина С.А. Инвестиционная привлекательность аграрного производства в условиях санкций и импортозамещения // Проблемы региональной экономики. 2021. № 3-4. С. 72-79.
6. Хромов Е.А. Региональный экономический рост: сущность и факторы его формирующие (теоретический аспект) // Вестник Алтайской академии экономики и права. 2020. № 3-2. С. 297-302.

Введение

В современных условиях становится необходимым построение статистически значимого уравнения линейной регрессии, объясняющей динамику валового внутреннего продукта РФ от экспорта РФ, проверка надежности модели методом тестирования случайных остатков с помощью тестов Голдфелда-Квандта, ранговой корреляции Спирмена, Глейзера, Парка, Уайта, Бройша-Пагана, разработка прогноза ВВП России и интерпретация полученных результатов.

Материал и методы исследования

При оценке параметров уравнения регрессии применяется традиционный метод наименьших квадратов. Проводится проверка гомо-, гетероскедастичности остатков в парной регрессии. Последовательно рассматриваются тесты: Голдфелда-Квандта, ранговой корреляции Спирмена, Глейзера, Парка, Уайта, критерий Бройша-Пагана.

Результаты исследования и их обсуждение

Наличие гетероскедастичности в остатках может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, хотя несмещенность оценок в основном зависит от соблюдения предположения о независимости остатков и величин факторов, т.е. cov(x,u) = 0.

Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок параметров. В частности, невозможно использовать формулу стандартной ошибки коэффициентов σai, предполагающей единую дисперсию остатков.

Рассмотрим зависимость от использованного валового внутреннего продукта (ВВП, трлн руб.) – y от экспорта России – x (трлн руб.) в таблице 1.

Таблица 1

Зависимость использованного ВВП от экспорта России

Год

1997 г.

1998 г.

1999 г.

2000 г.

2001 г.

2002 г.

2003 г.

2004 г.

2005 г.

y

2,3

2,6

4,8

7,3

8,9

10,8

13,2

17

21,6

x

0,58

0,82

2,08

3,22

3,3

3,81

4,66

5,86

7,61

Год

2006 г.

2007 г.

2008 г.

2009 г.

2010 г.

2011 г.

2012 г.

2013 г.

2014 г.

y

26,9

33,2

41,3

38,8

46,3

56

68,1

73

79

x

9,08

10,03

12,92

10,84

13,53

16,94

18,32

18,86

21,43

Год

2015 г.

2016 г.

2017 г.

2018 г.

2019 г.

2020 г.

     

y

83,1

85,6

91,8

103,9

109,2

107

     

x

23,85

22,14

23,96

31,98

31,17

27,3

     

Таблица 2

Расчет параметров парной линейной регрессии

yi

xi

x∙y

x2

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

ui

ui2

1

2,3

0,6

1

0,3

-12,9

167,3

-44,82

2009,1

-0,8

-48

2302

3

10

2

2,6

0,8

2

0,7

-12,7

161,1

-44,54

1983,5

0,1

-47

2216

3

6

3

4,8

2,1

10

4,3

-11,4

130,6

-42,34

1792,9

4,8

-42

1797

0

0

4

7,3

3,2

24

10,4

-10,3

106,0

-39,86

1588,8

9,0

-38

1458

-2

3

5

8,9

3,3

30

10,9

-10,2

104,3

-38,22

1460,9

9,3

-38

1435

0

0

6

10,8

3,8

41

14,5

-9,7

94,1

-36,34

1320,3

11,2

-36

1294

0

0

7

13,2

4,7

61

21,7

-8,9

78,4

-33,96

1153,1

14,3

-33

1079

-1

1

8

17,0

5,9

100

34,3

-7,7

58,6

-30,14

908,3

18,8

-28

806

-2

3

9

21,6

7,6

164

57,9

-5,9

34,9

-25,56

653,1

25,3

-22

480

-4

13

10

26,9

9,1

244

82,4

-4,4

19,7

-20,25

410,0

30,7

-16

270

-4

14

11

33,2

10,0

333

100,6

-3,5

12,1

-13,92

193,7

34,2

-13

167

-1

1

12

41,3

12,9

533

167,0

-0,6

0,3

-5,89

34,7

45,0

-2

5

-4

14

13

38,8

10,8

421

117,5

-2,7

7,1

-8,36

69,9

37,3

-10

98

2

2

14

46,3

13,5

627

183,0

0,0

0,0

-0,86

0,7

47,2

0

0

-1

1

15

56,0

16,9

948

287,0

3,4

11,8

8,80

77,5

59,9

13

162

-4

15

16

68,1

18,3

1248

335,8

4,8

23,2

20,94

438,4

65,0

18

319

3

10

17

73,0

18,9

1377

355,8

5,4

28,6

25,82

666,7

67,0

20

394

6

36

18

79,0

21,4

1693

459,1

7,9

62,6

31,86

1015,3

76,5

29

862

3

6

19

83,1

23,8

1982

568,8

10,3

106,8

35,92

1290,4

85,5

38

1470

-2

6

20

85,6

22,1

1895

490,0

8,6

74,4

38,45

1478,4

79,2

32

1023

6

42

21

91,8

24,0

2201

574,2

10,5

109,2

44,68

1996,1

85,9

39

1503

6

35

22

103,9

32,0

3322

1022,9

18,5

341,1

56,70

3214,4

115,7

69

4694

-12

140

23

109,2

31,2

3405

971,8

17,7

311,9

62,08

3853,4

112,7

66

4292

-3

12

24

107,0

27,3

2920

745,4

13,8

190,1

59,80

3576,2

98,3

51

2616

9

75

Сред.

47

14

983

276

Сумма

2 234

 

31 186

1132

 

30741

 

445

Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и редко встречается при рассмотрении временных рядов. Для проверки условия теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайного остатка в модели может использоваться несколько тестов: тест Голдфелда-Квандта, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Глейзера, тест Парка, тест Уайта, критерий Бройша-Пагана.

Последовательно рассмотрим эти тесты.

missing image file

missing image file.

Получаем уравнение регрессии:

missing image file.

1. Проведение оценки параметров парной линейной регрессии будем проводить с помощью инструмента «Регрессия» пакета «Анализа данных», а также с помощью функции «Линейн» табличного процессора Excel (табл. 2).

Проведем оценку тесноты и силы связи между переменными x и y.

Для проведения оценки тесноты связи между переменными x и y используем коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

missing image file

По шкале Чеддока можно сделать вывод, что связь высокая.

missing image file

missing image file

Полученное значение свидетельствует: на формирование объясняемой переменной в размере 98,6% оказывает влияние объясняющая переменная.

Оценку силы связи между объясняемой и объясняющей переменных выполним, используя значение среднего коэффициента эластичности:

Э missing image file = missing image file = missing image file.

Тем самым при изменении объясняющей переменной на 1% объясняемая переменная изменится в 1,063 раза.

Оценка значимости уравнения регрессии проводится с помощью F-критерия Фишера (F-теста), который состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого сравниваются значения фактического Fрасч полученной парной регрессии и критического (табличного) Fкрит значений F-критерия Фишера.

Fрасч=missing image file = missing image file= 1519,

Fрасч > Fкрит, 1519 > 4,3.

Тем самым отклоняется статистическая гипотеза Н0: a1 = 0 и делается вывод, что качество регрессии удовлетворительно.

Качество полученной регрессии определим через среднюю ошибку аппроксимации:

Асред missing image file,

т.е. в среднем оцененные значения объясняемой переменной missing image file отклоняются от фактических yi на 16%, что входит в допустимый предел значений.

2. Проверка остатков полученной парной линейной регрессии на гомоскедастичность.

2.1. Тест Голфельда-Квандта.

Таблица 3

Расчет тест Голфельда-Квандта

№ наблюдения

y

 

х

1

2,3

 

0,58

2

2,6

 

0,82

3

4,8

 

2,08

4

7,3

 

3,22

5

8,9

 

3,30

6

10,8

 

3,81

7

13,2

 

4,66

8

17,0

 

5,86

9

21,6

 

7,61

10

26,9

 

9,08

11

33,2

 

10,03

12

41,3

 

12,92

13

38,8

 

10,84

14

46,3

 

13,53

15

56,0

 

16,94

16

68,1

 

18,32

17

73,0

 

18,86

18

79,0

 

21,43

19

83,1

 

23,85

20

85,6

 

22,14

21

91,8

 

23,96

22

103,9

 

31,98

23

109,2

 

31,17

24

107,0

 

27,30

Исходные данные для переменных х и у отсортируем по возрастанию значений х, а затем разобьем весь исходный массив из 24 значений на два равных подмассива по 12 значений каждый (табл. 3).

Для первого и второго подмассивов найдем значения RSS (RSS1 – для первого (верхнего) подмассива из 12 значений, RSS2 – для второго (нижнего) подмассива из 12 значений). Для этого воспользуемся инструментом Регрессия. Для первой совокупности:

RSS1 = 18,5; RSS2 = 340;

GQ = 18,46 / 340 = 0,05;

GQ–1 = 0,05–1 = 18,42.

Для сравнения полученных значений GQ и GQ–1 с Fкрит найдем его значение при степени свободы, равной 10. Fкрит = 2,98. Полученные значения GQ–1 > Fкрит, тем самым не подтверждается статистическая гипотеза о равенстве дисперсий случайных остатков в наблюдаемых уравнениях. Остатки обладают гетероскедастичностью.

2.2. Тест ранговой корреляции Спирмена (табл. 4).

Для начала необходимо определить остатки u между исходными (статистическими) значениями переменной y и полученными missing image file в результате оценки парной линейной регрессии. Для этого можно воспользоваться инструментов Регрессия табличного процессора Excel. В качестве исходных данных задаем значения y и x и отмечаем пункт остатки.

Ранжируем значения x и u с использованием функции РАНГ табличного процессора Excel и находим значение D как разницу рангов, затем полученные значения возводим в квадрат.

Таблица 4

Расчет ранговой корреляции Спирмена

№ наблюдения

y

x

|u|

Ранг Х

Ранг U

D

D2

1

2,3

0,58

3,2

1

14

-13

169

2

2,6

0,82

2,5

2

12

-10

100

3

4,8

2,08

0,0

3

1

2

4

4

7,3

3,22

1,7

4

8

-4

16

5

8,9

3,30

0,3

5

2

3

9

6

10,8

3,81

0,4

6

3

3

9

7

13,2

4,66

1,1

7

6

1

1

8

17,0

5,86

1,8

8

9

-1

1

9

21,6

7,61

3,7

9

16

-7

49

10

26,9

9,08

3,8

10

18

-8

64

11

33,2

10,03

1,0

11

5

6

36

12

41,3

12,92

3,7

13

17

-4

16

13

38,8

10,84

1,5

12

7

5

25

14

46,3

13,53

0,9

14

4

10

100

15

56,0

16,94

3,9

15

19

-4

16

16

68,1

18,32

3,1

16

13

3

9

17

73,0

18,86

6,0

17

21

-4

16

18

79,0

21,43

2,5

18

11

7

49

19

83,1

23,85

2,4

20

10

10

100

20

85,6

22,14

6,5

19

22

-3

9

21

91,8

23,96

5,9

21

20

1

1

22

103,9

31,98

11,8

24

24

0

0

23

109,2

31,17

3,4

23

15

8

64

24

107,0

27,30

8,7

22

23

-1

1

           

Сумма

864

Определяем коэффициент Спирмена по формуле:

missing image file.

На основании шкалы Чеддока определяем, что связь между фактором x и случайными остатками u прямая умеренная.

Определяем величину статистического критерия Стьюдента:

missing image file.

tкрит = 2,07. tx,u > tкрит; 3,75 > 2,07,

то принимается, что коэффициент ранговой корреляции статистически значим и присутствует гетероскедастичность остатков.

2.3. Тест Глейзера (табл. 5).

1. Оценим регрессию y по x, чтобы найти абсолютные значения остатков.

2. Рассчитаем уравнения регрессии ui от x–γ при значениях γ:= –1; –0,5; 0,5; 1; 1,5 по формуле:

missing image file

Варьирование значение γ от – 1 до + 1 позволяет подобрать наиболее адекватную модель. Для каждого значения γ проверяется статистическая значимость параметра a1 c помощью критерия Стьюдента.

Если для некоторых γ параметр a1 признается значимым (тестовая статистика больше критического значения), то и гетероскедастичность данного вида признается значимой. При этом среди анализируемых моделей выбирается модель с тем значением γ, для которого параметр a1 наиболее значим (с наибольшим значением тестовой статистики).

Таблица 5

Расчет теста Глейзера

№ наблюдения

y

x

Остатки|u|

x–1

x–0,5

x0,5

x1,5

1

2,3

0,6

3,151

1,726

1,314

0,8

0,4

2

350

385

2,542

0,003

0,051

19,6

7 554

3

330

545

0,048

0,002

0,043

23,3

12 723

4

425

680

1,677

0,001

0,038

26,1

17 732

5

502

810

0,338

0,001

0,035

28,5

23 053

6

360

780

0,359

0,001

0,036

27,9

21 784

7

420

790

1,105

0,001

0,036

28,1

22 204

8

505

785

1,754

0,001

0,036

28,0

21 994

9

280

400

3,651

0,003

0,050

20,0

8 000

10

305

530

3,804

0,002

0,043

23,0

12 201

11

340

580

0,996

0,002

0,042

24,1

13 968

12

460

720

3,704

0,001

0,037

26,8

19 319

13

440

700

1,548

0,001

0,038

26,5

18 520

14

415

690

0,919

0,001

0,038

26,3

18 124

15

345

650

3,915

0,002

0,039

25,5

16 571

16

405

760

3,087

0,001

0,036

27,6

20 951

17

450

780

5,972

0,001

0,036

27,9

21 784

18

515

840

2,511

0,001

0,035

29,0

24 345

19

390

590

2,419

0,002

0,041

24,3

14 331

20

370

540

6,465

0,002

0,043

23,2

12 548

21

435

660

5,914

0,002

0,039

25,7

16 955

22

458

685

11,815

0,001

0,038

26,2

17 928

23

490

750

3,435

0,001

0,037

27,4

20 539

24

485

760

8,654

0,001

0,036

27,6

20 951

tкрит = 2,06 > tрасчет1 (0,06), tрасчет2 (0,06), tрасчет3 (0,01), tрасчет4 (0,1).

Параметр a1 статистически незначим во всех уравнениях регрессии, доказана гомоскедастичность остатков.

2.4. Тест Парка (табл. 6).

Тест используется для проверки гетероскедастичности случайных ошибок регрессионной модели. Предполагается, что дисперсия σ2 является функцией -го значения объясняющей переменной х. Р. Парк предложил для проведения исследования на гетероскедастичность использовать дополнительно функциональную зависимость вида (прологарифмировано):

ln(u2) = a0 + a1 · ln(x) + w.

Так как дисперсии σi2 обычно неизвестны, их заменяют оценками квадратов отклонений ошибок u2. Критерий Парка, как правило, один не применяется, а дополняется другими тестами.

Для этого построим ряды ln(u2) и ln(x), а затем проведем оценку ее параметров с использованием инструмента Регрессия.

tкрит = 2,06; tрасчет = 2,82; tкрит < tрасчет.

Таким образом, коэффициент a1 является значимым. Следовательно, гетероскедастичность остатков доказана.

2.5. Тест Уайта (табл. 7).

Тест предложен Уайтом в 1980 г. Это универсальная процедура тестирования гетероскедастичности случайных ошибок линейной регрессионной модели, не налагающая особых ограничений на структуру гетероскедастичности.

Применяем инструмент Регрессия.

Fрасч > Fкрит, 12,2 > 3,5.

Принимается гипотеза о гетероскедастичности остатков уравнения.

Таблица 6

Расчет теста Парка

y

x

Остатки|u|

ln(u2)

ln(x)

2,3

0,6

3,2

2,30

-0,55

2,6

0,8

2,5

1,87

-0,20

4,8

2,1

0,0

-6,07

0,73

7,3

3,2

-1,7

1,03

1,17

8,9

3,3

-0,3

-2,17

1,19

10,8

3,8

-0,4

-2,05

1,34

13,2

4,7

-1,1

0,20

1,54

17,0

5,9

-1,8

1,12

1,77

21,6

7,6

-3,7

2,59

2,03

26,9

9,1

-3,8

2,67

2,21

33,2

10,0

-1,0

-0,01

2,31

41,3

12,9

-3,7

2,62

2,56

38,8

10,8

1,5

0,87

2,38

46,3

13,5

-0,9

-0,17

2,60

56,0

16,9

-3,9

2,73

2,83

68,1

18,3

3,1

2,25

2,91

73,0

18,9

6,0

3,57

2,94

79,0

21,4

2,5

1,84

3,06

83,1

23,8

-2,4

1,77

3,17

85,6

22,1

6,5

3,73

3,10

91,8

24,0

5,9

3,55

3,18

103,9

32,0

-11,8

4,94

3,47

109,2

31,2

-3,4

2,47

3,44

107,0

27,3

8,7

4,32

3,31

Таблица 7

Расчет теста Уайта

x

x2

Остатки|u|

|u|2

0,58

0,34

3,2

9,9

0,82

0,67

2,5

6,5

2,08

4,35

0,0

0,0

3,22

10,36

1,7

2,8

3,30

10,89

0,3

0,1

3,81

14,54

0,4

0,1

4,66

21,68

1,1

1,2

5,86

34,34

1,8

3,1

7,61

57,87

3,7

13,3

9,08

82,43

3,8

14,5

10,03

100,58

1,0

1,0

12,92

167,02

3,7

13,7

10,84

117,55

1,5

2,4

13,53

183,04

0,9

0,8

16,94

286,99

3,9

15,3

18,32

335,80

3,1

9,5

18,86

355,83

6,0

35,7

21,43

459,07

2,5

6,3

23,85

568,77

2,4

5,9

22,14

489,98

6,5

41,8

23,96

574,21

5,9

35,0

31,98

1 022,87

11,8

139,6

31,17

971,79

3,4

11,8

27,30

745,37

8,7

74,9

2.6. Тест Бройша-Пагана (табл. 8).

Тест применяется, если имеются основания полагать, что дисперсия ошибок может зависеть от некоторой совокупности наблюдаемых переменных. Воспользуемся данными предыдущего теста и найдем оценку дисперсии случайного члена по формуле:

missing image file

Расчет значений missing image file приведен в табл. 8.

missing image file.

Применяем инструмент Регрессия. Оценим параметры модели и найдем статистику χ2m–1 = ESS / 2. χ2m–1 = 19. Определим χ2крит при а = 0,05, v2 = 22, χ2m–1 < χ2крит, так как 19 < 33. Принимается гипотеза о гомоскедастичности остатков.

Сведем результаты проведенных тестов на проверку остатков полученной парной регрессии на гомоскедастичность в табл. 9.

Таблица 8

Расчет теста Бройша-Пагана

y

x

Остатки|u|

pi

2,3

0,6

3,15

0,54

2,6

0,8

2,54

0,35

4,8

2,1

0,05

0,00

7,3

3,2

-1,68

0,15

8,9

3,3

-0,34

0,01

10,8

3,8

-0,36

0,01

13,2

4,7

-1,10

0,07

17,0

5,9

-1,75

0,17

21,6

7,6

-3,65

0,72

26,9

9,1

-3,80

0,78

33,2

10,0

-1,00

0,05

41,3

12,9

-3,70

0,74

38,8

10,8

1,55

0,13

46,3

13,5

-0,92

0,05

56,0

16,9

-3,92

0,83

68,1

18,3

3,09

0,51

73,0

18,9

5,97

1,92

79,0

21,4

2,51

0,34

83,1

23,8

-2,42

0,32

85,6

22,1

6,46

2,25

91,8

24,0

5,91

1,89

103,9

32,0

-11,82

7,52

109,2

31,2

-3,44

0,64

107,0

27,3

8,65

4,04

Таблица 9

Итоговая таблица

№ п/п

Название теста

Результат тестирования остатков

1

Голдфелда-Квандта (тест GQ)

Гетероскедастичные

2

Ранговой корреляции Спирмена

Гетероскедастичные

3

Глейзера

Гомоскедастичные

4

Парка

Гетероскедастичные

5

Уайта

Гетероскедастичные

6

Бройша-Пагана

Гомоскедастичные

Заключение

Полученные результаты в целом позволяют оценить регрессионное уравнение как надежное, и его можно использовать в практической деятельности анализа макроэкономических показателей России. Для соблюдения экономической безопасности страны ежегодный рост ВВП должен составлять 5% (с учетом роста цен). Спрогнозируем уровень экспорта, который необходим для выполнения этого требования, согласно полученному уравнению:

missing image file.

К 2022 году ВВП должен составить 115 трлн руб., следовательно, России необходимо достичь уровня экспорта в размере 31,9 трлн руб.


Библиографическая ссылка

Мухин А.А., Мухина И.А., Марковина Е.В., Доронина С.А., Рыжкова О.И. ПРОВЕРКА НАДЕЖНОСТИ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ ВВП РОССИИ ОТ ЭКСПОРТА МЕТОДОМ ТЕСТИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ОСТАТКОВ // Вестник Алтайской академии экономики и права. – 2022. – № 4-2. – С. 215-223;
URL: https://vaael.ru/ru/article/view?id=2160 (дата обращения: 09.12.2024).