Научный журнал
Вестник Алтайской академии экономики и права
Print ISSN 1818-4057
Online ISSN 2226-3977
Перечень ВАК

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОПЕРАЦИОННОГО СЕГМЕНТА ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОГО ЛАГА ИНВЕСТИЦИЙ В РАБОЧИЙ КАПИТАЛ

Халиков М.А. 1 Стецук Ю.Ю. 1 Струкова А.А. 1
1 Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова
Динамика результата производственной деятельности предприятия, представленного различными экономическими показателями, в том числе объемом выпуска продукции на последовательных временных интервалах, является важнейшим индикатором эффективности и конкурентоспособности его операционного (производственного) сегмента. Цель настоящей публикации – разработка и адаптация динамической модели операционного сегмента предприятия с рыночным критерием валового маржинального дохода, производственно-технологическими (задаваемыми аналитической зависимостью «затраты-выпуск»), рыночными и рисковыми ограничениями и с учетом временного лага между осуществленными в этот сегмент инвестициями и их отдачей в форме расширенной базы постоянных и переменных активов, потребляемых в производственном процессе. Показано, что описывающая этот процесс динамическая модель в постановочном плане задается разностными уравнениями, а в частном случае линейной зависимости между затратами и выпуском – однородным разностным уравнением второго порядка, для которого авторами адаптирован ранее известный численный алгоритм, основанный на данных по динамике выпуска на первых двух интервалах. Представлены экзогенные и эндогенные параметры динамической модели операционного сегмента и проведены практические расчеты динамики для случая линейной зависимости затрат и выпуска, которые продемонстрировали, что в ряду управляемых параметров важную роль играют показатели темпа инвестиций в рабочий капитал предприятия из собственных источников, а также коэффициент автономии рабочего капитала, характеризующий риск его структуры.
производственная деятельность предприятия
операционный сегмент
рабочий капитал
модель «затраты-выпуск»
неоклассическая производственная функция
управляемые и неуправляемые параметры
однородные разностные уравнения второго порядка
нелинейные динамические модели
1. Антиколь А.М., Халиков М.А. Нелинейные модели микроэкономики: учеб. пособие. М.: ФГБОУ ВПО «РЭУ им. Г.В. Плеханова», 2011. 156 с.
2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. Основы и приложения нелинейного программирования. М.: Наука, 1977. 343 с.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. 632 с.
4. Бендиков М.А., Фролов И.Э. Высокотехнологичный сектор промышленности России: состояние, тенденции, механизмы инновационного развития. М.: Наука, 2007. 583 c.
5. Горский М.А. Модели и методы оптимального управления кредитным портфелем коммерческого банка с расширенным набором критериев: монография / под общ. ред. М.А. Халикова. М.: РЭУ им. Г.В. Плеханова, 2016. 188 с.
6. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986. 239 c.
7. Коласс Б. Управление финансовой деятельностью предприятия: Проблемы, концепции, методы / Пер. с франц. М.: Финансы ЮНИТИ, 1997.
8. Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. 592 с.
9. Круи М., Галай Д., Марк Р. Основы риск – менеджмента: пер. с англ. / науч. ред. В.Б. Минасян. М.: Юрайт, 2011. 390 с.
10. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения: М: Наука, 1981. 280 с.
11. Безухов Д.А. Выбор критерия оптимальности управления оборотным капиталом предприятия // Проблемы развития современного общества: экономические, правовые и социальные аспекты: сборник научных статей по итогам Всероссийской научно-практической конференции. Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2014. С. 31-43.
12. Горский М.А. Математические модели формирования портфелей финансовых активов в постановках Г. Марковица и В. Шарпа // Высокие технологии и инновации в науке: сборник избранных статей Международной научной конференции. 2020. С. 251-267.
13. Горский М.А. Метод решения задач нелинейной дискретной оптимизации в расчетах оптимальных производственных программ предприятий // Актуальные вопросы теории и практики развития научных исследований: сб. статей Международной научно-практической конференции (24 декабря 2019, г. Уфа). Уфа, 2019. С. 88-98.
14. Горский М.А. Параметрическое моделирование кредитно-инвестиционной деятельности коммерческого банка и его приложения // Ученые записки Российской Академии Предпринимательства. 2018. Т. 17. № 4. С. 187-208.
15. Горский М.А. Теоретический подход и численный метод поиска квазиоптимального решения нелинейной дискретной задачи большой размерности // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2019. Т. 23. № 3. С. 465-482.
16. Горский М.А., Епифанов И.И. Практика применения WACC и EVA в оценках структуры капитала и рыночной эффективности производственных корпораций // Вестник Алтайской академии экономики и права. 2019. № 10-1. С. 25-33.
17. Грибов А.Ф. Нелинейная модель оптимизации операционной деятельности предприятия // Фундаментальные исследования. 2016. № 2-1. С. 140-144.
18. Хасанов А.С. Индивидуальные домашние задания по основам линейного программирования // Известия Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. 2013. № 4(14).
19. Хрусталёв О.Е. Методические основы оценки экономической устойчивости промышленного предприятия // Аудит и финансовый анализ. 2011. № 5. С. 180-185.
20. Dorfman R., Samuelson P., Solow R. Linear Programming and Economic Analysis. N.Y., 1958. 544 p.
21. Gorskiy M.A., Reshulskaya E.M. Parametric models for optimizing the credit and investment activity of a commercial bank. Journal of Applied Economic Sciences. 2018. V. 13. № 8(62). P. 2340-2350.
22. Luenberger D., Yinyu Y. Linear and Nonlinear Programming. Springer Science + Bussiness Media. LLC, 2008. 551 p.
23. Minniti A., Turino F. Multi-product firms and business cycle dynamics. European Economic Review. 2013. Vol. 57. Р. 75-97.
24. Samuelson P.A. Paul Douglas’ Measurement of Production Functions and Marginal Productivities. Journal Political Economy. 1979. Part 1 (October). Р. 923-939.
25. Solow R.M. Technological Change and the Aggregate Production Function. Review of Economics and Statistics. 1957. Vol. 39. №3. Р. 312-320.

Введение

Данная публикация посвящена проблематике разработки экономико-математического инструментария моделирования оптимальной по рыночному критерию динамики операционного (производственного) сегмента предприятия акционерной формы собственности с учетом ограничений по внешним и внутренним параметрам и, в том числе, риску потери финансовой устойчивости, что весьма актуально для производственной корпорации, функционирующей в условиях турбулентной рыночной среды.

В методологическом плане работа продолжает исследования по динамическим моделям микроэкономики, представленным в монографии А.М. Антиколь и М.А. Халикова [1]. В этой публикации авторы приводят оригинальные модели, в которых наряду с идеями традиционных задач производственного планирования в детерминированной и стохастической постановках, изложенных в цитируемой монографии, рассматривается новый аспект – возможность учета в моделируемой динамике «затраты-выпуск» временного лага между осуществленными инвестициями в операционный сегмент предприятия и их реальной отдачей в производственно-технологическом процессе.

Объектом исследований является производственная сфера предприятия, в которой осуществляются планирование и организация основного производственного процесса, снабжение, подготовка производства и сбыт (реализация) готовой продукции.

Цель статьи – разработка и адаптация экономико-математической модели и инструментального комплекса выбора оптимального по критерию валового маржинального дохода варианта финансирования затрат и осуществления инвестиций в операционный сегмент предприятия из собственных и заемных источников с учетом параметров товарных, материальных и финансовых рынков, риска структуры капитала производственной сферы и временного лага между инвестициями в рабочий капитал предприятия и их отдачей в форме расширения базы постоянных и переменных активов, используемых в производственно-технологическом процессе.

Материалы и методы исследования

Математический аппарат, использованный авторами при разработке методов и численных алгоритмов решения задач линейной и нелинейной оптимизации в непрерывном и целочисленном вариантах, частично заимствован из работ М. Аоки [2], Н.С. Бахвалова, Н.П. Жидкова, Г.М. Кобелькова [3], А.Ф. Грибова [17], В.А. Колемаева [8], А.А. Миролюбова, М.А. Солдатова [10], А.С. Хасанова [18], Р. Дорфмана [20], Д. Лунбергера [22]. При разработке численного алгоритма линеаризации нелинейной дискретной модели авторы использовали идеи метода, предложенного М.А. Горским [5, 13-15].

При выборе критериев и ограничений динамической модели авторы обращались к работам Д.А. Безухова [11], М.А. Бендикова, И.Э. Фролова [4], М.А. Горского [14,16].

При изложении тезисов неоклассической концепции производства, эффективности производственных факторов, оценки и управления рисками производственной сферы предприятия авторы активно цитировали работы М.А. Горского [21], Г. Б. Клейнера [6], Б. Колосса [7], М. Круи [9], О.Е. Хрусталева [19], Д. Луинбергера [10] и др. авторов [23-25],

Результаты исследования и их обсуждения

1. Динамическая модель производственной сферы предприятия.

Будем считать корректными следующие предположения:

1) зависимость в паре «затраты – выпуск» на всех интервалах планирования (t = 1,T) являются неоклассической зависимостью:

missing image file

или missing image file (1)

где yt – выпуск в натуральном выражение; α – степень однородности производственной функции (α > 0); ct(1) – удельные затраты (затраты на единицу выпуска) для периода t; PKt – сумма постоянных и переменных активов рабочего капитала (капитал производственной сферы предприятия) на начало временного интервалаt;

2) прибыль, полученная в операционном сегменте предприятия в периоде t, оценивается выражением:

missing image file

missing image file (2)

где PIt – прибыль производственного сегмента предприятия для периода t; τ – налог на прибыль хозяйствующего субъекта; pt – цена реализации продукции для периода t; pt – ставка по краткосрочному кредиту для периода t; missing image file – коэффициент автономии (доля собственных средств в пассивах рабочего капитала для временного интервала t);

3) рабочий капитал на начало очередного планового интервала формируется из восстановленной на конец текущего периода части и собственных инвестиций из прибыли предыдущего периода, направляемых на пополнение активов операционного сегмента (инвестиции с «задержкой (лагом) на один производственно-коммерческий цикл»):

missing image file (3)

missing image file (4)

где d – коэффициент списания на амортизацию материальных активов рабочего капитала (принятый постоянным на всем горизонте при линейном способе начисления амортизации).

missing image filemissing image file (5)

где γt–1 – доля средств из полученной на временном интервале (t-1) прибыли операционного сегмента, направляемая на собственные инвестиции в рабочий капитал в периоде (t+1).

С учетом выражения (1) балансовое соотношение (3) запишем в виде:

missing image file

missing image file (6)

Для первого интервала будем использовать следующее соотношение:

missing image file (7)

где PKt – величина активов рабочего капитала на начало первого планового периода.

Соотношение (6) является основным, связывающим динамику выпусков для производственной сферы предприятия на последовательных временных интервалах (t–1); t; (t+1) (t≥2).

Отдельно рассмотрим случай линейной производственной функции (α=1). В этом случае соотношение (6) примет вид:

missing image file

missing image file

или

missing image file

missing image file (8)

Для повышения наглядности полученного уравнения, связывающего выпуски на временных интервалах (t–1); t; (t+1), рассмотрим важный частный случай постоянных удельных затрат на всем временном горизонте: ct(1)=const, t = 1,T

В этом случае уравнение примет вид:

missing image filemissing image file (9)

Если дополнительно предположить, что все рыночные параметры производственной сферы постоянны на всем рассматриваемом горизонте missing image file, то можно констатировать, что динамика выпусков на любых трех последовательных интервалах корректно задается однородным разностным уравнением второго порядка:

missing image file (10)

или

missing image file (10’)

где b = –(1 – b); missing image file.

Численный алгоритм решения однородного разностного уравнения второго порядка описан в ряде работ (например, рассмотрена работа Миролюбова А.А., Солдатова М.А.) [10]. Опишем его с некоторыми изменениями, позволяющими адаптировать к рассматриваемому уравнению (10’).

Пусть λ1 и λ2 – корни характеристического уравнения:

λ2 + bλ + c = 0 (11)

Тогда общее решение исходного уравнения (10’) может быть представлено в виде:

missing image file (12)

Для нахождения D1 и D2 запишем начальные точки траектории:

missing image file (13)

Решая эту задачу, определим значения констант D1 и D2:

missing image file; missing image file. (14)

Из уравнения (11) следует, что

missing image file, а λ1 * λ2 = c

(D – дискриминант характеристического уравнения). Получим следующее выражение для решения разностного уравнения (11):

missing image file

missing image file(15)

Таким образом, соотношение (15) связывает оптимальный по критерию маржинального дохода выпуск yt с оптимальными значениями выпусков на первых двух интервалах.

Если корни характеристического уравнения (11) совпадают, то решение однородного разностного уравнения (10’) может быть представлено в виде:

missing image file (16)

Также как и выше, для нахождения D1 и D2 используем данные о первых двух точках траектории:

missing image file (17)

где λ = λ1 = λ2.

Решая систему (17), найдем:

missing image file(18)

Подставим полученные значения констант D1 и D2 в соотношение (13) и получим следующую формулу для нахождения общего решения уравнения (10’) в случае совпадения корней характеристического уравнения (11):

missing image file (19)

справедливую для временных интервалов t ≥ 3. Кроме того, в (19) можно дополнительно учесть, что missing image file

Стационарная (растущая или убывающая) динамика выпуска, задаваемого уравнением (10) или (10’) и описываемая соотношениями (15) – (18), возможна в случае, если дискриминант уравнения (11) неотрицателен, т.е.:

missing image file

missing image file (20)

Знак левой части неравенства (20) определяется знаком выражения, состоящего в круглых скобках. Достаточным условием стационарной динамики выпуска производственного сегмента предприятия является полное покрытие из выручки удельных производственных затрат и затрат на привлекаемый заемный капитал:

p ≥ c(1) + ρ(1 – ka), (21)

что является реалистичным в условиях безубыточного производства.

2. Практические расчеты на основе динамической модели (10)-(15).

Практические расчеты динамики выпусков для производственной сферы предприятия на последовательных временных интервалах, проведены для случая α = 1 и различных комбинаций управляемых параметров ka и γ (ka=0,2; 0,4; 0,6; 0,8; γ = 0,2; 0,5; 0,8) и для следующих констант: τ=0,2; p=2; c(1)=1,2; ρ=0,15; y1=10; y2=12; d=0,04. Характер динамики конечного продукта (выпуск в натуральном выражении) для различных комбинаций отражен ниже (табл. 1-12; рис. 1-12).

Таблица 1

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,2 и γ=0,2

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

1,05

2

14,40

13,82

12,00

1,26

3

15,13

14,52

12,61

1,32

4

17,09

16,41

14,24

1,50

5

20,39

19,57

16,99

1,78

6

25,73

24,70

21,44

2,25

7

34,34

32,96

28,62

3,00

8

48,49

46,55

40,41

4,24

9

72,47

69,57

60,39

6,34

10

114,63

110,05

95,53

10,03

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,2 и γ=0,2

Таблица 2

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,2 и γ=0,5

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

2,62

2

14,40

13,82

12,00

3,15

3

17,15

16,46

14,29

3,75

4

24,39

23,42

20,33

5,33

5

40,26

38,65

33,55

8,80

6

77,73

74,62

64,77

17,00

7

175,72

168,69

146,43

38,42

8

466,27

447,62

388,56

101,96

9

1455,0

1396,83

1212,53

318,17

10

5349,1

5135,15

4457,59

1169,67

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,2 и γ=0,5

Таблица 3

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,2 и γ=0,8

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

4,20

2

14,40

13,82

12,00

5,04

3

19,03

18,27

15,86

6,66

4

24,53

23,54

20,44

8,58

5

53,35

51,22

44,46

18,67

6

137,72

132,21

114,76

48,18

7

450,53

432,51

375,44

157,62

8

1863,1

1788,54

1552,55

651,82

9

9784,5

9393,11

8153,74

3423,27

10

65497,5

62877,6

54581,21

22915,37

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,2 и γ=0,8

Таблица 4

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,4 и γ=0,2

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

1,11

2

14,40

13,82

12,00

1,33

3

15,19

14,58

12,66

1,40

4

17,29

16,60

14,41

1,60

5

20,86

20,02

17,38

1,92

6

26,70

25,63

22,25

2,46

7

36,28

34,83

30,24

3,35

8

52,36

50,26

43,63

4,83

9

80,23

77,02

66,86

7,40

10

130,59

125,36

108,82

12,05

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,4 и γ=0,2

Таблица 5

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,4 и γ=0,5

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

2,77

2

14,40

13,82

12,00

3,32

3

17,23

16,54

14,36

3,97

4

24,70

23,71

20,58

5,70

5

41,22

39,57

34,35

9,51

6

80,74

77,51

67,28

18,62

7

185,81

178,38

154,84

42,86

8

503,74

483,59

419,79

116,20

9

1611,9

1547,43

1343,25

371,81

10

6099,2

5855,23

5082,66

1406,88

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,4 и γ=0,5

Таблица 6

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,4 и γ=0,8

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

4,43

2

14,40

13,82

12,00

5,31

3

19,28

18,51

16,06

7,11

4

32,81

31,49

27,34

12,11

5

69,70

66,91

58,08

25,72

6

187,35

179,86

156,13

69,15

7

638,68

613,13

532,23

235,72

8

2778,48

2667,34

2315,40

1025,45

9

15487,11

14867,62

12905,92

5715,77

10

111040,6

106598,9

92533,82

40981,38

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,4 и γ=0,8

Таблица 7

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,6 и γ=0,2

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

1,16

2

14,40

13,82

12,00

1,40

3

15,24

14,64

12,70

1,48

4

17,49

16,79

14,58

1,70

5

21,33

20,48

17,77

2,07

6

27,70

26,59

23,08

2,69

7

38,32

36,78

31,93

3,72

8

56,47

54,21

47,06

5,48

9

88,70

85,16

73,92

8,61

10

148,52

142,58

123,77

14,42

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,6 и γ=0,2

Таблица 8

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,6 и γ=0,5

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

2,91

2

14,40

13,82

12,00

3,49

3

17,38

16,68

14,48

4,22

4

25,25

24,24

21,04

6,13

5

42,95

41,23

35,79

10,42

6

86,25

82,80

71,88

20,93

7

204,76

196,57

170,63

49,69

8

576,19

553,14

480,16

139,82

9

1925,94

1848,90

1604,95

467,36

10

7662,24

7355,75

6385,20

1859,37

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,6 и γ=0,5

Таблица 9

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,6 и γ=0,8

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

4,66

2

14,40

13,82

12,00

5,59

3

19,51

18,73

16,26

7,57

4

33,76

32,41

28,14

13,11

5

73,46

70,52

61,22

28,52

6

203,75

195,60

169,79

79,11

7

722,17

693,28

601,81

280,39

8

3292,89

3161,17

2744,08

1278,52

9

19397,81

18621,90

16164,84

7531,52

10

148243,8

142314,1

123536,5

57558,1

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,6 и γ=0,8

Таблица 10

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,8 и γ=0,2

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

1,22

2

14,40

13,82

12,00

1,47

3

15,30

14,69

12,75

1,56

4

17,69

16,98

14,74

1,80

5

21,81

20,93

18,17

2,22

6

28,72

27,57

23,94

2,93

7

40,44

38,82

33,70

4,12

8

60,86

58,43

50,72

6,20

9

97,96

94,04

81,63

9,98

10

168,67

161,92

140,55

17,18

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,8 и γ=0,2

Таблица 11

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,8 и γ=0,5

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

3,06

2

14,40

13,82

12,00

3,67

3

17,52

16,82

14,60

4,46

4

25,80

24,77

21,50

6,57

5

44,72

42,93

37,27

11,39

6

92,03

88,35

76,70

23,44

7

225,24

216,23

187,70

57,36

8

657,41

631,11

547,84

167,42

9

2293,57

2201,82

1911,31

584,10

10

9585,37

9201,95

7987,80

2441,07

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,8 и γ=0,5

Таблица 12

Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,8 и γ=0,8

t

PKt

PKt

yt

Invt

1

12,00

11,52

10,00

4,66

2

14,40

13,82

12,00

5,59

3

19,51

18,73

16,26

7,57

4

33,76

32,41

28,14

13,11

5

73,46

70,52

61,22

28,52

6

203,75

195,60

169,79

79,11

7

722,17

693,28

601,81

280,39

8

3292,89

3161,17

2744,08

1278,52

9

19397,81

18621,90

16164,84

7531,52

10

148243,8

142314,1

123536,5

57558,14

missing image file

Рис. 1. Динамика выпуска и рабочего капитала для α=1; ka=0,8 и γ=0,8

Выводы

Анализируя результаты практических расчетов по динамической модели, сделаем следующие выводы:

– доля собственных инвестиций в рабочий капитал операционного сегмента предприятия – управляемый параметр, существенно влияющий на динамику выпуска, что отчетливо прослеживается по приведенным таблицам и графикам;

– чем выше доля средств, направляемая на собственные инвестиции в рабочий капитал, тем меньшее влияние на динамику выпуска оказывает коэффициент автономии (доля собственных средств в пассивах рабочего капитала);

– зависимость динамики «коэффициент автономии – темп роста выпуска» является прямо пропорциональной: с ростом коэффициента автономии растет и темп выпуска продукции, причем, весьма значительно. Данная взаимосвязь особенно прослеживается для случая γ = 0,8 (таблица 12, рис. 12).

Последний вывод особенно важен в свете рассматриваемого варианта модели операционного сегмента с учетом временного лага инвестиций в рабочий капитал предприятия; модели динамики операционного сегмента с «временным лагом» существенно отличаются от моделей динамики без его учета (модели без учета временного лага и соответствующие им расчеты динамики в паре «затраты-выпуск», подтверждающие этот вывод, приведены в работе Безухова Д.А. [11]).


Библиографическая ссылка

Халиков М.А., Стецук Ю.Ю., Струкова А.А. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОПЕРАЦИОННОГО СЕГМЕНТА ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОГО ЛАГА ИНВЕСТИЦИЙ В РАБОЧИЙ КАПИТАЛ // Вестник Алтайской академии экономики и права. – 2022. – № 2-2. – С. 269-278;
URL: https://vaael.ru/ru/article/view?id=2086 (дата обращения: 27.06.2022).