Введение
В рамках неоклассической теории производства оптимальный размер производственного сегмента корпорации (предприятия акционерной формы собственности) – суммарная величина активов, включенных в этот сегмент, обеспечивающая максимальную эффективность затрат собственного и заемного капитала по критерию валового дохода с учетом сложившихся на момент принятия решения об объемах производства цен на готовую продукцию, факторы производства, ставок заемного финансирования, налогов и пр. Проблематика экономико-математического моделирования производственной сферы предприятия, функционирующего в изменчивой рыночной среде, достаточно полно представлена в трудах зарубежных [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] и отечественных исследователей [10, 11, 13], включая и работы авторов [13, 14, 15, 16].
В работах перечисленных авторов оптимальный размер производственного сегмента предприятия оценивается, однако, исключительно по критерию доходности производственной программы, включающей продукцию основного и вспомогательного производств. Однако, в условиях сегментации бизнеса по центрам ответственности, ставшей заметной особенностью современной организации производства, такой подход не может быть признан удовлетворительным. Производственный сегмент корпорации, как и любой другой центр ответственности (центр прибыли, затрат, инвестиций), кроме функции обеспечения доходности основной производственной деятельности, выполняет функции по организации ее финансирования, снабжения – сбыта продукции, эффективного использования основного и оборотного капитала и др. Очевидно, что учет в оценках валового дохода производственного сегмента предприятия объектов неосновной деятельности существенно отразится на основных его финансово-экономических и производственных показателях, включая и такие, как точка безубыточности и оптимальный размер выпуска.
Оптимальный размер предприятия в рамках неоклассической теории производства
В неоклассической теории производства [1, 2] аналитическое выражение оптимального по критерию доходности основной производственной деятельности объема производства получено для предприятия с однородной производственной функцией, являющейся:
– дважды непрерывно дифференцируемой в экономической области Ω (области задания);
– монотонно неубывающей и выпуклой вверх по каждому аргументу (в качестве аргумента выступает объем переменного или условно-постоянного ресурса – актива, включаемого в рабочий капитал (капитал производственного сегмента предприятия);
– однородной (степени r > 0):
f(αx1,..., αxi,..., αxI) = αrf(x1,…, xi,…, xI), (1)
где I – число учитывающих в модели предприятия активов; xi – объем i-го актива; α > 0, xi, αxi∈Ω.
В силу теоремы Эйлера об однородных функциях:
(2)
В точке 
= 
оптимального объема выпуска:
(3)
Учитывая, что левая часть соотношения (3) совпадает с суммарной эластичностью 
выпуска по факторам затрат (активов), запишем для α = 1:
(4)
Обозначим выпуск (объем производства) предприятия переменной у:
(5)
а валовые (переменные плюс условно-постоянные) затраты на объем выпуска у – через с(у). Тогда соотношение 
можно записать в виде:
, (4`)
откуда получим следующее выражение для функции полных затрат на объем производства, равный у:
(6)
где с(1) – удельные валовые затраты (затраты в расчете на единичный объем производства).
Пусть p0 – валовый удельный доход для произведенной в производственном сегменте предприятия и реализованной продукции. Если ввести в рассмотрение функцию прибыли предприятия:
, (7)
то оптимальный yопт объем производства для предприятия с неоклассической производственной функцией можно получить из условия экстремума для функции прибыли:
(8)
(9)
Комментарий. Для r > 1 объем производства, устанавливаемый на основе выражения (9), – точка минимума функционала (7). Для r > 1 – точка максимума.
В реальной производственной практике наиболее распространенным является второй случай: переменные и условно-постоянные затраты растут быстрее выпуска по причине нарастания косвенных затрат на входе и выходе производственного сегмента и нарастания трансакционных затрат сбыта и реализации.
Таким образом, оптимальный объем уопт производства для предприятия с неоклассической производственной функцией степени однородности, меньшей 1, задается выражением (8).
В общем случае (функция «затраты-выпуск» не обязательно является однородной) оптимальный размер производственного сегмента предприятия с учетом рыночного риска производственной программы может быть определен на основе следующей модели:
(10)
; (11)
(12)
; (13)
(14)
, (15)
где VD – валовый доход при выборе производственной программы, задаваемой вектором 
; pi,, ci – средние за период наблюдения и принимаемые в расчетах за актуальные соответственно, рыночная цена и удельные производственные затраты по i – му изделию производственной программы; J – число технологических операций, используемых в производственном сегменте предприятия; aij – технологическая фондоемкость производства i-го изделия на j-й операции; Rj – эффективное время работы технологического оборудования на j-й операции; OK – оборотный капитал (текущие активы производственного сегмента предприятия); Si – рыночные спрос на i-е изделие производственной программы предприятия; δi – дисперсия доходности i-го вида продукции за период наблюдения; cov(i1; i2) – ковариация доходностей продукции с индексами i1 и i2 (за период наблюдения); δ – пороговое значение риска производственной программы принимаемого собственниками и менеджментом.
Экзогенные (неуправляемые) параметры модели Pi, Ci, Si определяются рыночной конъюнктурой. Эндогенными (управляемыми) параметрами являются: эффективное время работы 
основного и вспомогательного оборудования на технологических позициях, OK – оборотный капитал производственного сегмента предприятия, авансируемый в покрытие затрат; 
– предельный риск производственной программы.
Если 
– оптимальное решение нелинейной целочисленной задачи (10) – (15), то оптимальные размер производственного сегмента предприятия определим по формуле:
(16)
Учитывая выпуклость критерия (10) и ограничений (11), (12), (14), можно утверждать о наличии однозначной зависимости между оптимальным решением модели (10) – (15) и вектором (
) регулируемых параметров. А именно, если 
– двойственные оценки соответственно ограничений (11), (12), (14), то оптимальные размер 
производственного сегмента предприятия соответствует значению функционала:
, (17)
связывающего оптимальное решение модели (10) – (15) с вектором двойственных оценок регулируемых параметров.
Концепция и теоретические положения задачи выбора оптимального варианта производственной деятельности и размера производственного сегмента предприятия
Выше рассмотрены модели определения оптимального объема производства предприятия, функция «затраты-выпуск» которого корректно описывается соотношениями неоклассической теории производства или может быть получена на основе двойственных оценок регулируемых и нерегулируемых параметров внутренней (производственно-технологической) и внешней (рыночной) сред предприятия.
Важной особенностью этих моделей является их сугубо «производственная» направленность, в рамках которой производственный сегмент предприятия представляется классическим «черным ящиком» [15], на вход которого поступают производственные ресурс, а на выходе реализуется конечный продукт, стоимостная оценка которого (разница рыночной цены реализации и затрат в цепочке «снабжение-производство-сбыт») учитывается в финансовом результате основной производственной деятельности предприятия.
В реальной практике функционирующего в условиях рыночной экономики хозяйствующего субъекта деятельность его производственного сегмента не ограничивается только собственно выпуском продукции традиционного или инновационного ассортиментов, но включает и объекты внепроизводственной деятельности: сдача/взятие в аренду эксплуатационных и производственных мощностей, управление финансовыми активами и др. виды деятельности, приносящие доход. Учет операций внепроизводственной деятельности в оценках «рыночной» мощности производственного сегмента предприятия существенно отражается на результатах моделирования и на стоимостной оценке его оптимального размера.
Ниже рассмотрим формальную постановку и математическую модель определения оптимального размера производственного сегмента предприятия в условиях изменчивых товарных и финансовых рынков, параметры которых составляют экзогенную часть переменных.
Отметим, что модели производственной сферы предприятия можно рассматривать и в статическом (для выбранного временного интервала) и в динамическом (для последовательности временных интервалов) вариантах, которые существенно отличаются критериями и составом ограничений [12].
Остановимся на более простом статическом варианте модели с критерием на максимум валового дохода производственного сегмента предприятия, производственно-технологическими, финансово-ресурсными и рыночными ограничениями, характеризующими условия основной и внепроизводственной деятельности предприятия.
Формальная постановка задачи и статичный вариант модели определения оптимального размера производственного сегмента предприятия
Введем следующие обозначения для параметров и переменных модели определения оптимального размера предприятия (для упрощения восприятия интервал планирования t будем считать присутствующим в этих обозначениях):
, индекс производимой продукции;
xi – планируемый объем производства i-того вида продукции;
pri(xi) – цена реализации единицы i-го вида продукции в объеме xi (в общем случае нелинейная функция объема реализации);
– стоимость эксплуатации и затрат на восстановление изношенной части j-го постоянного актива в основных активах (рабочем капитале) предприятия:
– эффективная нагрузка на j-й постоянный актив в рабочем капитале предприятия при производстве единицы i-го вида продукции в объеме xi (в общем случае нелинейная функция объема производства);
J1 – число составляющих постоянных активов, учитываемых в оценках себестоимости производимой продукции;
– средняя плата в расчете на единиц j-го постоянного актива, сдаваемого в аренду;
– соответственно, общая величина j-го постоянного актива в рабочем капитале предприятия и оставшаяся после сдачи в аренду часть эксплуатационных и производственных мощностей, используемая при производстве изделий из номенклатурного перечня предприятия;
J2 – число составляющих оборотных активов, учитываемых в калькуляции переменных затрат производственной деятельности предприятия;
– стоимость единицы j-го переменного актива;
– объем затрат j-го переменного актива на производство единицы i-го вида продукции в объеме xi (в общем случае нелинейная функция в объеме производства);
SK – собственный капитал предприятия, размещенный в производственном сегменте;
SK(1) – собственный капитал, используемый на финансирование затрат переменных активов;
β – планируемое значение коэффициента автономии (отношение собственного капитала к полному капиталу) – риск структуры капитала производственного сегмента предприятия;
βп – пороговое (минимальное) значение коэффициента автономии;
– максимально возможный объем заемного финансирования производственного сегмента предприятия;
p1 – эффективная ставка по депозиту для предприятия в выбранном банке;
p2 – номинальная ставка по краткосрочному кредиту для предприятия в выбранном банке;
Si – спрос на i-е изделие, сложившийся на рынке для рассматриваемого периода времени.
Максимальный валовый доход VD (до налогообложения) производственного сегмента предприятия, покрывающий затраты переменных активов и по обслуживанию кредита (для рассматриваемого интервала времени), может быть рассчитан на основе следующей статичной модели производственного сегмента предприятия:
(18)
; (19)
(20)
; (21)
; (22)
SK(1) ≤ SK; (23)
β ≥ βп; (24)
; (25)
; (26)
β∈(0; 1). (27)
В составе переменных критерия (18) модели (18)-(27) перечислены эндогенные (управляемые), соответственно: объемы производимой продукции; постоянные активы, резервируемые для целей собственного производства; собственный капитал предприятия, планируемый для финансирования переменных затрат; коэффициент автономии.
Регулируемыми (определяемыми по результатам предыдущего производственно-коммерческого цикла) параметрами модели являются: объемы постоянных активов (
, собственного капитала (SK) производственного сегмента предприятия и пороговое значение (βп) коэффициента автономии.
Нерегулируемыми (экзогенными) параметрами модели являются: рыночный спрос 
, цены 
на изготавливаемую продукцию и факторы производства 
, рыночные ставки 
доходности по операциям сдачи/взятия активов производственного назначения в аренду, (p1, p2) по депозитам и краткосрочным кредитам и емкость 
рынка заемного капитала).
В группу «технологических» параметров модели включены коэффициенты 
и 
фондоемкости изделий производственной программы соответственно по элементам постоянных и переменных активов рабочего капитала производственного сегмента предприятия.
Соответствие модели (18)-(27) заявленной концепции определения оптимального размера предприятия обосновывается содержанием критерия и ограничений. В критерии (18) предложено учитывать одновременно и финансовый результат основной производственной деятельности в форме разницы стоимостей реализованной продукции и затрат на ее производство, лимитированный рыночным спросом и величинами рабочего капитала в части активов и пассивов, и альтернативные доходы производственного сегмента предприятия, связанные со сдачей в аренду излишка производственных мощностей и размещением свободных средств на банковском депозите.
Если рентабельность производимой продукции по совокупным производственным затратам, рассчитанная на основе первого слагаемого в выражении (18), выше доходности внепроизводственной деятельности (второе слагаемое в выражении (18), то приоритет будет отдан основной производственной деятельности, а для обеспечения большего объема выпуска (в пределах рыночного спроса) будут запланированы большие объемы постоянных активов 
и денежных средств SK(1), направляемых в покрытие переменных затрат.
В случае невысокой рентабельности основной производственной деятельности по затратам постоянных и переменных активов и (или) низкого рыночного спроса на конечную продукцию приоритетной окажется внепроизводственная деятельность, результат которой описывается вторым слагаемым выражения (18). В этом случае резервируемая для осуществления основной производственной деятельности величина постоянных активов 
соответствует производственной мощности, обеспечивающей производство на уровне рыночного спроса на продукцию предприятия.
Изменяя регулируемые параметры производственного сегмента предприятия: объемы постоянных активов 
и рабочего капитала SK и пороговое значение βп коэффициента автономии (правые части ограничений (2), (6), (7), лицо, принимающее решение, имеет возможность планировать и управлять финансовым результатом производственного сегмента предприятия в случае стабильных параметров товарного и финансового рынка: спроса и цен на готовую продукцию, цен на факторы производства, процентных ставок по депозитам и кредитам, емкости рынка краткосрочных кредитов и других параметров.
Таким образом, для фиксированных значений экзогенных параметров товарного и финансового рынка, перечисленных выше, оптимальный размер производственного сегмента предприятия на выбранном интервале планирования t зависит от установленных значений регулируемых параметров состава постоянных активов, объема и структуры капитала, инвестируемого в производственную сферу его рыночной деятельности. Эти значения используются в правых частях ограничений (19), (23), (24), что позволяет утверждать о наличии следующей зависимости, устанавливающей связь между оптимальным размером производственного сегмента предприятия для временного интервала t и двойственными оценками этих ограничений, соответствующих ему:
(28)
где PV0 – оптимальный размер производственного сегмента предприятия для периода t, соответствующий максимальному значению критерия (18) модели (18)-(27); 
– вектор двойственных оценок ограничения на объемы постоянных активов 
; uSK –двойственная оценка ограничения на объем оборотного капитала производственного сегмента; 
– двойственная оценка ограничения на пороговое значение риска структуры капитала.
Комментарий 1. Для случая непрерывной задачи (в отсутствии ограничения (26)), линейных критерия и ограничений модели (18) – (27) функционал (28) может быть представлен линейной сверткой двойственных оценок и абсолютных значений правых частей ограничений (19), (23), (24).
В общем случае непрерывной нелинейной задачи (18) – (25), (27) учитывая выпуклость критерия (18) и ограничений (19) – (25) для нахождения двойственных оценок ограничений (19), (23), (25) следует составить функцию Лагранжа исследуемой модели, выписать необходимые условия её экстремума и, опираясь на соотношения теоремы Куна-Таккера, определить двойственные оценки ограничений (2) – (8) и, в том числе, (19), (23) [16, 17]. (25).
Комментарий 2. Модель (18) – (27) может быть «усилена» ограничением (14), что позволит в расчетах оптимального размера производственного сегмента предприятия учесть предельный уровень принимаемого риска потери доходности основной производственной деятельности.
Введение в модель дополнительного нелинейного ограничения типа «≤» сохранит разрешимость полной системы ограничений модели (18) – (27), (14) (легко видеть, что «тривиальное» решение 
ей удовлетворяет), но повысит вычислительную сложность численного алгоритма ее решения, который рассмотрим в следующем разделе.
Численный алгоритм решения дискретной нелинейной задачи (18) – (25), (27), (14)
На первом этапе рассмотрим численный метод решения дискретной нелинейной задачи (18) – (25), (27) (без ограничения (14) на предельный допустимый риск производственной программы). В качестве основной идеи численной процедуры используем метод линеаризации, предложенный М.А. Горским [13].
По результатам решения задачи (18) – (25), (27) на предыдущих временных интервалах 
, (tk – текущий временной интервал) для каждого продукта из производственной программы предприятия определим минимальный 
и максимальный 
объемы его производства.
Аналогично поступим для нелинейных функционалов 
, 
и 
, входящих в качестве составляющих в критерий (18) и левые части ограничений (19) и (20) 
.
Линейные представления этих функционалов для временного интервала tk определим, используя метод «двух точек» [18, 19]:
; (29)
; (30)
, (31)
где
; (32)
; (33)
(По аналогичным формулам определяются коэффициенты линеаризации 
, 
, 
, 
и для функционалов 
и 
).
С использованием коэффициентов линеаризации, приведенных выше, получим линейную дискретную модель следующего вида:
(18’)
; (19’)
; (20’)
; (21’)
; (22’)
; (23’)
; (24’)
; (25’)
; (26’)
β∈(0; 1). (27’)
Если учесть, что параметр β относится к регулируемым, то модель (19’) – (26’) эффективно решается с использованием алгоритмов дискретной оптимизации, например, методом «ветвей и границ» [16, 20, 21].
Рассмотрим алгоритм решения нелинейной задачи (19’) – (26’), (14) (с включением ограничения (14) на предельный допустимый риск производственной программы).
На временном интервале k проводим линеаризацию основной задачи (18) – (26) и решаем целочисленный аналог линейной задачи (18’) – (26’), (27’). Пусть 
– оптимальный набор продуктов для временного интервала k.
Если набор 
удовлетворяет ограничению (14), то оптимальное целочисленное решение для шага k найдено.
В противном случае, учитывая, что ограничение (14) задает выпуклую область допустимых решений и в совокупности с критерием (18) и другими ограничениями (19) – (26) является «стандартной» задачей линейного непрерывного программирования, то, применяя к ней симплекс – процедуру, выпишем множество базисных решений, удовлетворяющих этому ограничению:
(где N(k) – число базисных решений задачи для шага k).
Введем в рассмотрение набор весов 
, удовлетворяющих условиям:
; (34)
, (35)
и вектора 
, каждый из которых удовлетворяет ограничениям (19’), (20’), (21’) и (14).
Таким образом, оптимальный набор весов (
и соответствующий ему вектор 
оптимального решения непрерывной задачи квадратичного выпуклого программирования (18’) – (25’), (27’), (14) могут быть получены как решение более простой задачи линейного программирования:
; (18’’)
; (34’)
. (35’)
Соответствующие вектору 
квазиоптимальное решение дискретной (с учетом ограничения (26’)) задачи может быть получено с использованием метода локальной оптимизации непрерывного решения, приведенного в работе [14].
Заключение и выводы
В статье представлен теоретический подход, экономико-математические модели и методы оценки оптимального размера производственного сегмента промышленной корпорации в условиях изменчивых параметров рынков готовой продукции и факторов производства.
Важной особенностью подхода, моделей и методов является их реализация в рамках неоклассической теории и фирмы, предполагающая широкое использование при выборе оптимальных вариантов основной производственной и внепроизводственной деятельности производственного сегмента корпорации двойственных оценок ограничений по внешним (рыночным) и внутрифирменным параметрам, характеризующим текущее состояние внешней и внутренней её сред.
С учетом этого аспекта полученные результаты являются новыми, имеющими важное значение для современной теории и практики производственного менеджмента.