Научный журнал
Вестник Алтайской академии экономики и права
Print ISSN 1818-4057
Online ISSN 2226-3977
Перечень ВАК

ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ НАЦИОНАЛЬНОГО ДОХОДА В МОДЕЛИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С ВОЗМУЩЕНИЕМ

Геворкян Э.А. 1 Сурина Е.Е. 1
1 Московский университет имени С.Ю. Витте
Настоящая работа посвящена выявлению закономерностей изменения национального дохода в зависимости от времени в предположении, что эта функция удовлетворяет неоднородному обыкновенному дифференциальному уравнению гармонического осциллятора, правая часть которого (внешние инвестиции) представляет произведение экспоненты и периодической функции, как функции от времени. Определен экономический смысл и остальных членов этого дифференциального уравнения (темп изменения национального дохода, рыночная сила, трансакционные издержки). При нахождении его общего решения (сумма общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и одного частного решения неоднородного дифференциального уравнения) применены методы Эйлера и метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрен случай резонанса (частоты собственных колебаний национального дохода и колебаний внешних инвестиций совпадают), когда отсутствуют трансакционные издержки (не учитывается затухание) и когда они присутствуют (учитывается затухание). На основании полученных аналитических решений в случае резонанса построены графики изменения национального дохода в зависимости от времени. Причем при их построении взяты различные значения параметров (коэффициент затухания, частота собственных колебаний национального дохода), которые определяют характер динамики национального дохода. Показан осциллирующий характер национального дохода как функция от времени.
модель осциллятора
национальный доход
дифференциальное уравнение с правой частью
издержки
резонанс
1. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // УФН. 2002. Т. 172. № 9. С. 1045-1066.
2. Хавинсон М.Ю. Эконофизика: от анализа финансов до судьбы человечества // Пространственная экономика. 2015. № 1. С. 144-166.
3. Bali S. Econophysics. Thermoeconomics and Phynance. The Journal of International Social Research. 2011. V. 4. No. 18. P. 379-388.
4. Царев И.Г. Динамические системы в экономике // Аудит и финансовый анализ. 2006. № 3. С. 285-303.
5. Мантенья Р.Н., Стенли Г.Ю. Введение в эконофизику: корреляции и сложность в финансах / Перевод с английского под редакцией В.Я. Гебескирия. М.: URSS, Либроком. 2017. 192 с.
6. Мудрик Д.Г., Попков С.Ю., Ястребова Е.В. Экономическая физика: закон спроса и предложения, как результат действия универсального закона сохранения материи и энергии в экономике. Понятие сил в экономике // Проблемы экономики и юридической практики. 2017. № 3. С. 10-16.
7. Давыдянц Д.Е. Физическая экономика: теория, методология, системообразующие начала: монография. М.: МИРАКЛЬ, 2016. 77 с.
8. Геворкян Э.А., Синчуков А.В., Татарников О.В. Динамика изменения национального дохода в рамках модели гармонического осциллятора // Фундаментальные исследования. 2018. № 10. С. 26-30.
9. Геворкян Э.А., Синчуков А.В., Татарников О.В. Особенности динамики изменения национального дохода в рамках модели гармонического осциллятора с учетом внешнего воздействия // Фундаментальные исследования. 2020. № 5. С. 54-59.
10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: YOYO Media, 2012. 424 с.

Введение

Начиная с середины 1990-х годов в научной литературе опубликовались работы, посвященные эконофизике. Работы [1-3] посвящены обзору известных в научной литературе попыток провести исследования экономических процессов с использованием теории и методов, разработанных физиками при решении различных физических задач. В работах [4-6] экономические задачи, связанные с колебанием цен и обьема выпуска товаров, с анализом финансовых временных рядов, с объяснением закона спроса и предложения, решаются в рамках физических моделей с использованием математических методов. Автор монографии [7] предлагает теоретико-методологические основы и математический инструментарий эконофизики. В работе определены понятия экономической скорости, экономического ускорения, экономической силы, экономической работы и экономической энергии. Статьи [8-9] посвящены исследованию временной зависимости национального дохода, который удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонического осциллятора. В частности, в [9] исследован случай периодической зависимости от времени внешнего воздействия (внешние инвестиции) без учета и с учетом затухания (трансакционные издержки). В настоящей работе решается аналогичная задача, когда внешнее воздействие зависит от времени в виде произведения экспоненты и периодической функции.

Целью исследования является нахождение и анализ национального дохода как функция от времени, удовлетворяющая неоднородному дифференциальному уравнению гармонического осциллятора с внешним возмущением (внешние инвестиции), когда возмущение имеет вид произведения двух функций от времени: экспоненты и периодической функции.

Постановка задачи и её решение

Так как равновесие в макроэкономической системе считается её динамическое состояние в виде колебательного движения с малой амплитудой, то представляет определенный интерес рассматривать динамику изменения национального дохода в модели гармонического осциллятора с возмущением.

Рассмотрим модель осциллятора с внешним возмущением и допустим, что национальный доход как функция от времени (Y(t)) в этой модели без учета затухания (трансакционные издержки) (коэффициент затухания η = 0) удовлетворяет следующему неоднородному обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка

missing image file (1)

где d2Y(t) / dt2 соответствует темпу изменения национального дохода, ω02 · Y(t) ответственен рыночной силе, которая старается возвращать систему к точке равновесия, ω0 – собственная частота колебаний осциллятора, правая часть уравнения показывает внешние инвестиции, меняющихся во времени, k – темп прироста внешних инвестиций, ω – частота колебаний внешних инвестиций, F0 – амплитуда колебаний внешних инвестиций.

Отметим, что если для нахождения общего решения однородного уравнения, соответствующего (1), пользоваться методом Эйлера, а для нахождения одного частного решения неоднородного уравнения (1) пользоваться методом вариации произвольных постоянных, то есть искать в виде

Yч.н.(t) missing image file (2)

то относительно неизвестных c1(t) и c2(t) получим следующую систему уравнений:

missing image file (3)

Решение (3) приводит к следующим аналитическим выражениям для c1(t) и c2(t)

missing image file (4)

missing image file (5)

Подставляя (4) и (5) в (2) и учитывая, что Yч.н.(t) missing image file где c1 и c2 – положительные постоянные, после некоторых алгебраических преобразований, получим

missing image file (6)

Величины c1 и c2 в (6) можно определить из следующих начальных условий Коши

missing image file (7)

Вычисления приводят к выражениям

missing image file (8)

missing image file (9)

В частном случае, когда k = 0 из (6) с учетом (8) и (9) получим

missing image file (10)

Заметим, что последнее совпадает с результатом, полученным в работе [9]. Стоит отметить, что определенный интерес представляет случай резонанса. Выражение для Y(t) в этом случае можно найти, если в (8) перейти к пределу при ω→ω0 с учетом (8) и (9). Итак, имеем

Yрез(t) missing image file (11)

missing image file

Рис. 1. Кривая изменения Yрез(t) + 50 согласно (11) при η = 0; ω0 = 5; k = 2; F0 = 1; 0 ≤ t ≤ 3,8

Ниже рассмотрим случай, когда η ≠ 0 (учитываем трансакционные издержки). В этом случае в левой части уравнения (1) добавится член missing image file то есть функция Y(t) будет удовлетворять следующему дифференциальному уравнению

missing image file (12)

Решая однородное уравнение missing image file, получим:

1. missing image fileпри missing image file (13)

2. missing image file при missing image file (14)

3. missing image file при missing image file (15)

Частное решение уравнения (12) будем искать методом подбора, рассматривая следующие случаи: а) k + iω не совпадает с missing image file при missing image file missing image file

В этом случае Yч.н.(t) ищем в виде

Yч.н.(t) = (Acosωt + Bsinωt) · ekt. (16)

где А и B пока неизвестные коэффициенты. Требуя, чтобы (16) удовлетворяло уравнению (12), для коэффициентов A и B получим

missing image file missing image file (17)

Итак, в этом случае общее решение уравнения (12) принимает вид

missing image file (18)

б) missing image file missing image file

В этом случае Yч.н.(t) будем искать в виде

Yч.н.(t) = t · ekt · (Acosωt + Bsinωt) , (19)

где A и B пока неизвестные коэффициенты. Требуя, чтобы (19) удовлетворяло уравнению (12), для A и B получим

A = 0, B = F0 / 2ω , (20)

Тогда missing image file и общее решение уравнения (12) принимает вид

missing image file (21)

Постоянные c1 и c2, которые входят в (18) и (21), находятся с помощью начальных условий Коши (7) и выражаются формулами:

а) missing image file (22)

missing image file (23)

б) c1 = c2 = 0. (24)

Ниже приведем общее решение дифференциального уравнения (12) в случаях а) и б).

а) missing image file (25)

б) missing image file (26)

Если в (25) и (26) перейти к пределу при ω→ω0 (случай резонанса), то получим выражения для Yрез(t) в случаях а) и б) в виде:

а) missing image file (27)

б) Yрез(t) missing image file. (28)

missing image file

Рис. 2. Кривая изменения Yрез(t) + 80 согласно (27) при missing image file η = 0,1; ω0 = 5,6; F0 = 1; 0 ≤ t ≤ 3,8

Из графиков изменения Y(t) в случае резонанса (рис. 1-3) виден колебательный характер динамики национального дохода в зависимости от времени. Во всех трех случаях минимумы и максимумы достигаются почти при одном и том же значении t, но они отличаются своими величинами.

missing image file

Рис. 3. Кривая изменения Yрез(t) + 100 согласно (28) при missing image file k = 2; η = 0,1; ω0 = 5,6; F0 = 1; 0 ≤ t ≤ 3,8

Заключение

В работе в физической модели осциллятора с внешним возмущением (внешние инвестиции) исследована динамика изменения во времени национального дохода. Предполагается, что внешние инвестиции зависят от времени в виде произведения показательной функции (экспоненты) и периодической функции. Рассмотрены случаи, когда пренебрегаем трансакционными издержками и когда их учитываем. Проведенный аналитический и графический анализ результатов в случае резонанса показывает, что колебательный характер Y(t) сохраняется. Отметим также, что проведенное в данной работе исследование представляет интерес и с точки зрения развития теоретической эконофизики, и с практической точки зрения возможности использования материалов исследования при чтении курса «Моделирование макроэкономики» для студентов высших учебных заведений.


Библиографическая ссылка

Геворкян Э.А., Сурина Е.Е. ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ НАЦИОНАЛЬНОГО ДОХОДА В МОДЕЛИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С ВОЗМУЩЕНИЕМ // Вестник Алтайской академии экономики и права. – 2022. – № 2-1. – С. 28-33;
URL: https://vaael.ru/ru/article/view?id=2054 (дата обращения: 27.06.2022).