Научный журнал
Вестник Алтайской академии экономики и права
Print ISSN 1818-4057
Online ISSN 2226-3977
Перечень ВАК

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ ПРОГРАММЫ ВЫПУСКА И ФИНАНСИРОВАНИЯ ЗАТРАТ ОПЕРАЦИОННОГО СЕГМЕНТА ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ РИСКА

Аббясова Д.Р. 1 Халиков М.А. 1
1 Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова
В статье рассматриваются постановка задачи и экономико-математическая модель выбора оптимального варианта функционирования операционного (производственного) сегмента предприятия акционерной формы собственности (в полной степени отвечающего за доходы и убытки производственной и других видов рыночной деятельности) на последовательных временных интервалах, включающего план выпуска продукции и его финансирования из собственных и заемных источников с учетом рыночного и финансового рисков, состояния рынков готовой продукции и капитала и др. факторов внешней и внутренней сред. Оригинальность предложенных подхода и модели заключается в одновременной оптимизации вход-выходных параметров операционной сферы предприятия с учетом сопутствующих рисков: рыночного риска производственной программы и риска структуры рабочего капитала, привлекаемого для финансирования затрат. В «алгоритмическом» плане предложенная модель относится к задачам дискретной нелинейной оптимизации большой размерности, предполагающим использование нетрадиционных методов оптимизации и алгоритмов применения неточных (квазиоптимальных) решений. Указанное предопределило включение в текст работы оригинального численного алгоритма поиска квазиоптимального решения исходной нелинейной задачи в непрерывном варианте и его аппроксимации в качестве приближенного решения дискретной задачи.
операционный сегмент предприятия
рабочий капитал
стоимость капитала
структура капитала
производственная программа
рыночный риск
риск структуры капитала
критерии эффективности производственной сферы
задача оптимизации
нелинейная оптимизация
дискретная оптимизация
np-полные задачи
квазиоптимальное решение
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. 632 с.
2. Безухов Д.А. Выбор критерия оптимальности управления оборотным капиталом предприятия // Проблемы развития современного общества: экономические, правовые и социальные аспекты: сборник научных статей по итогам Всероссийской научно-практической конференции (г. Волгоград, 29-30 сентября 2014 г.). Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2014. С. 31-43.
3. Бендиков М.А., Фролов И.Э. Высокотехнологичный сектор промышленности России: состояние, тенденции, механизмы инновационного развития. М.: Наука, 2007. 583 c.
4. Горский М.А. Параметрическое моделирование кредитно-инвестиционной деятельности коммерческого банка и его приложения // Ученые записки Российской Академии Предпринимательства. 2018. Т. 17. № 4. С. 187-208.
5. Горский М.А. Метод решения задач нелинейной дискретной оптимизации в расчетах оптимальных производственных программ предприятий // Актуальные вопросы теории и практики развития научных исследований: сб. статей Международной научно-практической конференции (Уфа, 24 декабря 2019 г.). Уфа, 2019. С. 88-98.
6. Горский М.А. Теоретический подход и поиск квазиоптимального решения нелинейной дискретной задачи большой размерности // Экономический журнал высшей школы экономики. 2019. Т. 23. С. 465-482.
7. Горский М.А. Формулировка и доказательство теоремы о соотношении структурно-параметрической и комбинаторной оптимизации производственной системы предприятия // Инженерные и информационные технологии, экономика и менеджмент в промышленности: сборник научных статей по итогам второй международной научной конференции. 2020. С. 41-60.
8. Горский М.А. Математические модели формирования портфелей финансовых активов в постановках Г. Марковица и В. Шарпа. // Высокие технологии и инновации в науке: сборник избранных статей Международной научной конференции. 2020. С. 251-267.
9. Горский М.А., Епифанов И.И. Практика применения WACC и EVA в оценках структуры капитала и рыночной эффективности производственных корпораций // Вестник Алтайской академии экономики и права. 2019. № 10-1. С. 25-33.
10. Клейнер Г.Б. Методы анализа производственных функций. М.: Информэлектро, 1980. 73 с.
11. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986. 239 с.
12. Коласс Б. Управление финансовой деятельностью предприятия: Проблемы, концепции, методы / Пер. с франц. М.: Финансы ЮНИТИ, 1997.
13. Круи М., Галай Д., Марк Р. Основы риск – менеджмента: пер. с англ. / науч. ред. В.Б. Минасян. М.: Юрайт, 2011. 390 с.
14. Хасанов А.С. Индивидуальные домашние задания по основам линейного программирования // Известия Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. 2013. № 4 (14).
15. Хрусталёв О.Е. Методические основы оценки экономической устойчивости промышленного предприятия // Аудит и финансовый анализ. 2011. № 5. С. 180-185.
16. Dorfman R., Samuelson P., Solow R. Linear Programming and Economic Analysis. N. Y., 1958. 544 p.
17. Luenberger D., Yinyu Y. Linear and Nonlinear Programming. Springer Science + Bussiness Media, LLC, 2008. 551 p.
18. Minniti A., Turino F. Multi-product firms and business cycle dynamics. European Economic Review. 2013. Vol. 57. Р. 75-97.
19. Gorskiy M.A., Reshulskaya E.M Parametric models for optimizing the credit and investment activity of a commercial bank. Journal of Applied Economic Sciences. 2018. V. 13. № 8 (62). P. 2340-2350.
20. Samuelson P.A., Paul Douglas’ Measurement of Production Functions and Marginal Productivities. Journal Political Economy. 1979. Part 1. Р. 923-939.
21. Solow R.M. Technological Change and the Aggregate Production Function. Review of Economics and Statistics. 1957. Vol. 39. № 3. Р. 312-320.

Введение

Эта статья – третья, продолжающая цикл работ д.э.н., профессора кафедры математических методов в экономике РЭУ им. Г.В. Плеханова Халикова Михаила Альфредовича и соискателя по этой кафедре Аббясовой Дианы Рустямовны. Напомним, что в первой публикации по тематике оптимального управления производственной компанией с долгом авторы рассматривали особенности формирования ее дивидендной политики в условиях ограниченного и, напротив, расширенного доступа к внешним источникам финансирования рыночной деятельности. Во второй- особенности выбора и реализации инвестиционных проектов производственной корпорации из собственных и заемных источников финансирования.

Основная идея предыдущих и этой публикаций заключается в разработке инструментария моделей и методов оптимального управления компанией с долгом с учетом ее финансово-экономического положения, доступности и условий получения внешних кредитов, эффективных направлений их использования в сферах производства, финансов и инвестиций.

Цель статьи – разработка теоретической и инструментальной базы выбора оптимальных вариантов производственной деятельности компании и финансирования ее операционного сегмента из собственных и заемных источников с учетом сопутствующих рисков: потери доходности основной деятельности и финансовой устойчивости в сфере производства.

Материалы и методы исследования

Математический аппарат, использованный авторами при разработке методов и численных алгоритмов решения задач нелинейной оптимизации в непрерывном и целочисленном вариантах, частично заимствован из работ Н.С. Бахвалова, Н.П. Жидкова, Г.М. Кобелькова [1], Д.А. Безухова [2], М.А. Бендикова, И.Э. Фролова [3]. При разработке численного алгоритма линеаризации нелинейной дискретной модели авторы использовали идеи метода, предложенного М.А. Горским [4-9].

При изложении тезисов неоклассической концепции производства, эффективности производственных факторов, оценки и управления рисками производственной сферы предприятия авторы активно цитировали работы Г.Б. Клейнера [10,11], Б. Колосса [12], М. Круи [13], А.С. Хасанова [14], О.Е. Хрусталева [15], Р. Дорфмана [16], Д. Луинбергера [17] и др. авторов [18-21],

Результаты исследования и их обсуждения

Опираясь на обоснованный авторами в предыдущих статьях тезис о преимуществах заемного финансирования постоянных и переменных активов рабочего капитала операционного сегмента предприятия, связанных с высокой альтернативной стоимостью собственного капитала корпорации и возможностью в условиях широкого заемного финансирования использования налогового щита, примем, как одно из основных допущений, использование различных (доступных предприятию) источников заемного капитала, объемы которых ограничиваются только потенциалом кредитования банками данного предприятия и предельной величиной риска структуры его рабочего капитала, оцениваемого коэффициентом автономии (долей собственных средства в пассивах рабочего капитала операционного сегмента), рассмотрим математическую модель выбора оптимального авринта производственной программы предприятия и варианта ее финансирования, в которой используем следующие обозначения переменных и параметров:

ƳCK – доля собственного финансирования операционного сегмента предприятия:

missing image file, (1)

re – цена собственного капитала, авансированного в покрытие затрат операционного сегмента;

ƳЗKm – доля финансирования операционного сегмента предприятия из m-го внешнего источника (m = 1,M) привлекаемого в покрытие затрат операционного сегмента.

missing image file, (2)

rm – цена заемного капитала из m-го источника, привлекаемого в покрытие затрат операционного сегмента.

Для переменных и параметров группы «Источники финансирования операционного сегмента предприятия» справедливы следующие балансовые уравнения, структурные ограничения:

missing image file, (3)

missing image file, (4)

где ƳCK – фиксированный параметр, в данной модели характеризующий риск структуры рабочего капитала репарационного сегмента;

Если в состав управляемых (эндогенных) параметров модели оптимизации производственной деятельности предприятия и объемов ее финансирования из внешних источников на шаге t включить переменные группы {ЗKm, m = 1,M }, то средневзвешенная стоимость WACCt рабочего капитала и альтернативные затраты RKZAtt на обслуживание капитала операционного сегмента предприятия определяются следующими (соответственно) выражениями:

missing image file, (5)

missing image file (6)

(в дальнейшем, рассматривая фиксированный временной интервал t, для упрощения записей формул индекс «t» будем подразумевать).

Для переменных и параметров группы «Изделия производственной программы (ПП), постоянные и переменные активы рабочего капитала операционного сегмента предприятия» будем использовать следующие обозначения и индексы (соответствующие временному интервалу t): i-индекс изделия ПП i (I – число учитываемых в производственной деятельности предприятия изделий); xi – планируемое к производству и реализации на товарном рынке число изделий i-го наименования; xi и xi – соответственно минимальный (исходя из портфеля невыполненных в предыдущем интервале планирования заказов предприятия) и максимальный (отвечающий рыночному спросу) объемы производства и реализации i-го изделия (i = 1,I); pi – прогнозируемая (как правило, средняя за наблюдаемый период t = 1,T) цена реализации единицы i-го изделия в составе выпускаемой партии продукции; Bj – учитываемый по эксплуатационной (или производственной) мощности или в натуральном (стоимостном) выражении запас j-го постоянного или переменного актива, используемого в производстве изделий ПП (J – число учитываемых в калькуляции затрат активов рабочего капитала операционной сферы предприятия; pij – удельные плановые затраты j-го актива (j = 1,J) на производство i-го изделия ПП; dj (j = 1,J) – стоимость восстанавливаемых на последовательных производственно-коммерческих циклах постоянных (в форме затрат на реновацию возобновляемой части) и переменных (в форме пополнения оборотного капитала) активов.

Учитывая широкие альтернативы использования собственного и заемного капитала предприятия не только в операционной, но также и в финансовой, и в инвестиционной сферах деятельности, обоснованным представляется использование в ЭММ выбора оптимальных вариантов ПП предприятия и источников ее финансирования в качестве критерия показателя EVA экономической добавленной стоимости, создаваемой в производственном (jоперационном) сегменте:

EVAmissing image file(7)

где NI(X) – чистая (после налоговая) прибыль на объем производства X, а все приведенные показатели и переменные относятся к временному интервалу t (t = 1,T).

Кроме показателя экономической добавленной стоимости, вполне оправданного для использования в качестве критерия эффективности вложений собственных и заемных средств в операционный сегмент предприятия на кратко- и среднесрочном интервалах планирования (и, в частности, на отдельно рассматриваемом производственно-коммерческом цикле), возможно также использование в качестве такого критерия долевых показателей: прибыль операционного сегмента на руб. собственных или собственных и заемных средств. Так как объем привлекаемых заемных источников ограничен только структурой рабочего капитала, то использование в качестве критерия долевого показателя не приведет к искажению оптимального решения за счет «эффекта структуры».

Основные ограничения статичной модели с критерием (7) включают, кроме структурных (3) и (4) на составляющие пассива рабочего капитала, производственно-технологические, финансово-ресурсные, рыночные и рисковые ограничения, представленные следующими зависимостями:

missing image file (8)

missing image file (9)

missing image file (10)

CK ≤ PCK; (11)

ƳCK ≥ Ƴ; (12)

missing image file

missing image file (13)

где дополнительные обозначения используются для показателей: РСК – полный объем собственных средств в мобильной форме, который может быть привлечен (в периоде t) на финансирование затрат операционного сегмента предприятия; Ƴ – нижний (пороговый) уровень коэффициента автономии рабочего капитала; σi – среднее квадратическое отклонение цены реализации i-го изделия от средней наблюдаемой; missing image file – коэффициент корреляции цен i1-го и i2-го изделий; σ – максимальное значение допустимого рыночного риска изделий ПП.

Ограничения (8) и (9) можно объединить в одно:

missing image file (9’)

Авторы специально не конкретизируют аналитическое выражение для чистой (посленалоговой) прибыли, приведенное в соотношении (7), которое корректно определяется с учетом принятой предприятием системы учета доходов и затрат. Для формализации модели достаточно знать, что выпуск missing image file в стоимостном отношении пропорционален затратам переменных и неамортизируемой части постоянных активов.

Таким образом, ЭММ выбора оптимальных вариантов ПП, источников и объемов финансирования операционного сегмента предприятия включает: критерий в форме (7) или аналогичный, производственно-технологические, финансово-ресурсные, структурные, рыночные, и рисковые ограничения, задаваемые соотношениями (3), (4), (9’), (11), (12), (13), а также дополнительным ограничением на неотрицательность (xi ≥ 0, i = 1,I) или целочисленность (xi Zt, i = 1,I) переменных группы {xi} и неотрицательность переменных группы {ЗКm} (ЗКm ≥ 0, m = 1,M) (ограничение (14)).

Управляемыми параметрами операционного сегмента предприятия при выборе варианта производственной программы и источников и объемов заемного финансирования его производственной деятельности в плановом интервале t являются: РСК – собственный капитал, авансированный в покрытие затрат операционного сегмента; перечень (1,…,М) заемных источников финансирования затрат; ƳCK – доля собственного капитала в общем объеме источников финансирования операционного сегмента, характеризующая риск структуры его рабочего капитала; σ – предельное (пороговое) значение рыночного риска производственной программы, принимаемого собственниками (акционерами) и менеджерами.

Присутствие в модели (7), (3), (4), (9’), (11), (12), (13), (14) ограничения (13) на предельное значение рыночного риска производственной программы позволяет констатировать ее принадлежность к задачам нелинейной дискретной оптимизации (в общем случае, большой размерности), для которых отсутствуют конструктивные (отличные от переборных) численные алгоритмы решения. Для решения задач этого класса (относящихся к NP-полным) можно использовать комбинированные методы и численные алгоритмы, позволяющие получать, как правило, квазиоптимальные (близкие к оптимальным) решения и оценивать величину погрешности.

Рассмотрим один из возможных численных методов поиска квазиоптимального решения нелинейной дискретной задачи (7), (3), (4), (9’), (11), (12), (13), (14).

Сведем эту задачу к задаче линейного непрерывного программирования, сняв ограничения на риск (13) и на целочисленность (14) переменных группы {xi}.

Так как ограничение (13) представлено выпуклым функционалом, то любая линейная комбинация допустимых для исходной (непрерывной) модели решений удовлетворяет и этому ограничению. Учитывая это факт, предлагается найти все базисные решения missing image file линейной непрерывной задачи (где вектор, missing image file с непрерывными компонентами удовлетворяет всем ограничениям рассматриваемой модели (включая и ограничение (13)), за исключением (14)) и составить их линейную свертку missing image file.

Решим следующую оптимизационную задачу:

missing image file (15)

μr ≥ 0, r = 1,R; (16)

missing image file (17)

где F – критерий исходной линейной непрерывной задачи в форме (7) или выбранной аналогичной.

Пусть μ0r , r = 1,R – оптимальное решение задачи (15) – (17). Тогда квазиоптимальным непрерывным решением линейной непрерывной задачи (7), (3), (4), (5), (9’), (11), (12), (13) будет вектор missing image file. Точность квазиоптимального непрерывного решения, как это следует из работы М. А. Горского [6], может быть оценена величиной missing image file – наибольшее значение компоненты с валовым доходом в расчете на изделие ПП в линейной свертке (15), соответствующей оптимальному решению задачи (15) – (17).

Для нахождения квазиоптимального целочисленного решения исследуемой задачи поступим следующим образом. Поместим квазиоптимальное решение непрерывной задачи в шар радиуса 1 (по каждой компоненте) и расположим все получаемые допустимые (удовлетворяющие ограничениям исходной задачи) решения в лексикографическом порядке (начиная с первой компоненты по возрастанию критерия (7)). Вектор, доставляющий наибольшее значение критерию (7), следует взять за квазиоптимальное решение исходной дискретной нелинейной задачи.

Заключение

В статье рассмотрены постановка задачи и математическая модель выбора оптимальных вариантов производственной программы операционного сегмента предприятия и ее финансирования из собственных и заемных источников с учетом рыночного и финансового риска. Отдельное внимание авторы уделили рассмотрению численного алгоритма решения соответствующей модели нелинейной дискретной оптимизационной задачи большой размерности. В последующих публикациях планируется привести результаты адаптации модели и численного алгоритма на объектах основного производства выбранного производственного предприятия.


Библиографическая ссылка

Аббясова Д.Р., Халиков М.А. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ ПРОГРАММЫ ВЫПУСКА И ФИНАНСИРОВАНИЯ ЗАТРАТ ОПЕРАЦИОННОГО СЕГМЕНТА ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ РИСКА // Вестник Алтайской академии экономики и права. – 2022. – № 2-1. – С. 5-10;
URL: https://vaael.ru/ru/article/view?id=2050 (дата обращения: 27.06.2022).